Kai matematika susitinka su planeta
Jei kas nors paklausytų, kokios formos yra Žemė, dauguma žmonių atsakytų: „Apvali.” Kai kurie, prisimindami mokyklos geografijos pamokas, patikslintų: „Na, ne visai tobulas rutulys – šiek tiek suspaustas prie polių.” Ir tai jau būtų gerokai arčiau tiesos. Tačiau tikroji Žemės geometrija yra tokia keista, tokia pilna netikėtų vingių ir anomalijų, kad net mokslininkai kartais sustoja ir pakasa galvą.
Mes gyvename ant planetos, kurios forma oficialiai vadinama geoidu – ir tai nėra tiesiog gražus žodis, kurį galima numesti pokalbyje prie kavos. Tai konceptas, kuris reiškia, kad Žemė yra tokios formos, kokios yra – ir niekas kitas šio apibūdinimo neatitinka geriau. Skamba kaip tautologija? Iš tikrųjų tai yra vienas tiksliausių mokslinių apibūdinimų, kokius tik galima sugalvoti.
Šiame straipsnyje pasikasime giliau – ne tik į tai, kad Žemė yra „šiek tiek suspaustas rutulys”, bet ir į tai, kodėl jos geometrija nuolat mus stebina, klaidina navigacijos sistemas, verčia inžinierius perskaičiuoti tiltus ir daro GPS technologiją daug sudėtingesnę, nei atrodo.
Geoidas: forma, kurios negalima nupiešti ant popieriaus
Pradėkime nuo pagrindų. Žemė nėra tobulas rutulys. Ji nėra net tobulas elipsoidas – tai yra, geometrinė figūra, gauta suspaudus rutulį iš viršaus ir apačios. Ji yra kažkas tarp šių dviejų dalykų, bet su papildomais „raukšlėmis” – kalnais, vandenynų duobėmis, ir, svarbiausia, netolygiai pasiskirsčiusia mase viduje.
Geoidas – tai hipotetinis paviršius, kuris atitiktų vidutinį jūros lygį, jei vandenynai galėtų laisvai tekėti per žemynus. Kitaip tariant, tai gravitacijos ekvipotencialinis paviršius. Kur gravitacija stipresnė – ten geoidas „išsipučia” aukštyn, kur silpnesnė – „įlinksta” žemyn.
Praktiškai tai reiškia štai ką: jei stovėtumėte ant geoidinio paviršiaus bet kurioje Žemės vietoje ir paleistumėte vandens lašą, jis niekur nenukristų – nes visur būtų vienodas gravitacinis potencialas. Tai abstrakcija, bet labai naudinga abstrakcija. Būtent pagal geoido modelį matuojamas aukštis virš jūros lygio – ne pagal geometrinį elipsoidą.
Kiek geoidas skiriasi nuo tobulo elipsoido? Maksimalus nukrypimas siekia apie ±100 metrų. Tai gali skambėti nedaug, bet kai kalbame apie navigaciją, statybas ar palydovų orbitas – tai yra milžiniškas skirtumas. Viena iš labiausiai „įdubusių” vietų yra Indijos vandenynas – ten geoidas yra maždaug 106 metrų žemiau elipsoido. Viena iš labiausiai „išsipūtusių” – Islandija ir dalis Arkties.
Polinis suspaudimas ir kodėl jis svarbus ne tik geografams
Žemė sukasi aplink savo ašį, ir ši rotacija turi labai konkrečių pasekmių formai. Išcentrinė jėga – ta pati, kuri verčia jus prispausti prie automobilio sėdynės posūkyje – stumia medžiagą nuo ašies. Kadangi Žemės pusiaujas yra toliausiai nuo ašies, ten ši jėga didžiausia. Rezultatas: pusiaujas yra „išsipūtęs”.
Skaičiai: Žemės spindulys prie pusiaujo yra apie 6 378 kilometrai, o prie polių – apie 6 357 kilometrai. Skirtumas – 21 kilometras. Tai reiškia, kad Everesto viršūnė, nors ir yra aukščiausias taškas virš jūros lygio (8 849 m), nėra toliausias taškas nuo Žemės centro. Šis titulas priklauso Čimborazo ugnikalnio viršūnei Ekvadore – ji yra apie 6 384 kilometrus nuo Žemės centro, beveik 2 kilometrais toliau nei Everestas.
Tai turi ir praktinių pasekmių. Pavyzdžiui:
- Raketos paleidžiamos kuo arčiau pusiaujo, nes ten jau turite „nemokamą” greitį iš Žemės rotacijos – apie 465 m/s.
- Gravitacijos pagreitis prie pusiaujo yra šiek tiek mažesnis nei prie polių – apie 9,78 m/s² prieš 9,83 m/s². Tai reiškia, kad prie pusiaujo sveriate šiek tiek mažiau nei prie polių.
- GPS palydovai turi atsižvelgti į šį suspaudimą, kad tiksliai apskaičiuotų poziciją.
Beje, polinis suspaudimas nėra unikalus Žemei. Jupiteris, kuris sukasi daug greičiau (pilnas apsisukimas per 10 valandų), yra suspaustas daug labiau – jo pusiaujo ir polinio spindulio skirtumas siekia beveik 9 000 kilometrų.
Didžioji koordinačių sistemos paslaptis: kodėl GPS kartais meluoja
Štai čia prasideda tikrai įdomūs dalykai. Kai jūsų telefonas rodo, kad esate tiksliai ten, kur esate, jis iš tikrųjų atlieka labai sudėtingus skaičiavimus, kuriuose Žemės forma vaidina pagrindinį vaidmenį.
GPS sistema naudoja koordinačių sistemą, pagrįstą matematiniu elipsoidu, vadinamu WGS84 (World Geodetic System 1984). Tai yra geriausias matematinis Žemės formos aproksimavimas, bet jis nėra tobulas – nes, kaip jau žinome, tikroji Žemė yra geoidas, o ne elipsoidas.
Kai jūsų GPS sako, kad esate 150 metrų virš jūros lygio, jis iš tikrųjų matuoja jūsų aukštį virš WGS84 elipsoido – ne virš tikrojo jūros lygio. Skirtumas tarp šių dviejų gali siekti iki 100 metrų, priklausomai nuo to, kur esate pasaulyje. Lietuva šiuo atžvilgiu yra gana „laiminga” – čia skirtumas tarp geoidinio ir elipsoidinio aukščio yra apie 15–20 metrų, kas yra vidutinis rodiklis.
Praktinis patarimas: jei naudojate GPS navigaciją kalnuose ar vietovėse su sudėtingu reljefu, visada turėkite omenyje, kad aukščio duomenys gali turėti kelių dešimčių metrų paklaidą. Profesionalūs geodezininkai naudoja specialias korekcines lenteles – vadinamus geoido modelius – kad konvertuotų GPS aukštį į tikrąjį aukštį virš jūros lygio.
Žemės vidus ir kaip jis formuoja paviršių
Žemės forma nėra tik paviršiaus reikalas. Tai, kas vyksta viduje, tiesiogiai veikia tai, kaip atrodo išorė. Žemės mantija – pusiau skysta uolienų masė, esanti po pluta – nuolat juda. Šie judesiai, vadinami mantijos konvekcija, sukuria didžiulius gravitacijos anomalijų regionus.
Kur mantijoje yra tankesnė, sunkesnė medžiaga – ten gravitacija stipresnė, ir geoidas ten „pakyla”. Kur medžiaga lengvesnė arba kur yra karštos mantijos plunksnos – ten geoidas „krinta”. Tai reiškia, kad Žemės forma iš tikrųjų keičiasi per geologinius laikus – labai lėtai, bet keičiasi.
Vienas įspūdingiausių pavyzdžių – Skandinavija. Po paskutinio ledynmečio, kuris baigėsi prieš maždaug 10 000 metų, milžiniški ledynai ištirpo, ir Skandinavijos pusiasalis pradėjo kilti – nes iš jo buvo nuimtas didžiulis svoris. Šis procesas vadinamas izostazine atsistatymu, ir jis tebevyksta iki šiol. Suomija ir Švedija kyla maždaug 5–8 milimetrais per metus. Per 10 000 metų jos jau pakilo daugiau nei 300 metrų.
Tai turi labai konkrečių pasekmių: Suomijos ir Švedijos pakrantės pamažu „atsiskiria” nuo jūros – žemė kyla greičiau, nei kyla jūros lygis. Kai kurios uostų vietos, kurios prieš kelis šimtus metų buvo prie pat vandens, dabar yra toli nuo kranto.
Koordinačių sistemos ir kodėl žemėlapiai visada meluoja
Kiekvienas žemėlapis yra melas. Tai ne kritika – tai matematinis faktas. Neįmanoma perkelti sferiško paviršiaus ant plokščio popieriaus lapo be iškraipymų. Kažkas visada turi „nukentėti” – arba formos, arba plotai, arba atstumai, arba kampai.
Ši problema vadinama kartografine projekcija, ir per šimtmečius žmonės sugalvojo dešimtis skirtingų sprendimų – kiekvienas su savo privalumais ir trūkumais:
- Merkatoriaus projekcija – ta, kurią matote daugumoje interneto žemėlapių. Ji išsaugo kampus (naudinga navigacijai), bet labai iškraipo plotus. Grenlandija atrodo tokio pat dydžio kaip Afrika, nors iš tikrųjų Afrika yra 14 kartų didesnė.
- Gall-Peterso projekcija – išsaugo plotų santykius, bet iškraipo formas. Šalys atrodo „ištemptos” arba „suspaustos”.
- Robinsono projekcija – kompromisas, kuris nėra tobulas nei vienu atžvilgiu, bet atrodo „natūraliausiai” daugumai žmonių.
- Azimutinė projekcija – naudojama poliariniams žemėlapiams, išsaugo atstumus nuo centro taško.
Įdomus faktas: Šiaurės Amerikos ir Europos oro linijų skrydžiai dažnai atrodo „kreivi” ant Merkatoriaus žemėlapio – tarsi lėktuvas skristų per Grenlandiją be reikalo. Iš tikrųjų tai yra trumpiausias kelias – vadinamoji didžiojo apskritimo linija. Sferos paviršiuje trumpiausias kelias tarp dviejų taškų nėra tiesi linija (kaip plokštumoje), o lankas, einantis per didžiausią įmanomą apskritimą.
Praktinis patarimas: jei kada nors planuojate ilgą skrydį ir norite suprasti, kur iš tikrųjų skrenda lėktuvas, naudokite gcmap.com – šis įrankis rodo tikruosius didžiojo apskritimo maršrutus ant sferos.
Žemės forma ir klimatas: ryšys, apie kurį retai kalbama
Žemės geometrija – jos forma, ašies pasvyrimas, atstumas nuo Saulės – tiesiogiai lemia klimatą. Tai žinome. Bet yra subtilesnių ryšių, kurie dažnai lieka nepastebėti.
Žemės ašis yra pasvyrusi 23,5 laipsnio kampu. Būtent dėl to turime metų laikus. Bet šis pasvyrimas nėra pastovus – jis svyruoja tarp 22,1 ir 24,5 laipsnio per maždaug 41 000 metų ciklą. Kai pasvyrimas didesnis, metų laikų kontrastai stipresni; kai mažesnis – klimatas lygesnis.
Be to, Žemės orbita aplink Saulę nėra tobulas apskritimas – ji yra elipsė. Šiuo metu Žemė yra arčiausiai Saulės sausio pradžioje (perihelyje) – apie 147 milijonus kilometrų – ir toliausiai liepos pradžioje (afelyje) – apie 152 milijonus kilometrų. Skirtumas yra apie 3%, ir tai reiškia, kad Žemė gauna apie 7% daugiau saulės spinduliuotės perihelyje nei afelyje.
Paradoksas: Šiaurės pusrutulyje žiema būna tada, kai Žemė yra arčiausiai Saulės. Tai reiškia, kad Šiaurės pusrutulio žiemos yra šiek tiek šiltesnės, o vasaros – šiek tiek vėsesnės, nei būtų kitaip. Pietų pusrutulyje – atvirkščiai: vasara sutampa su periheliu, todėl pietų vasaros teoriškai turėtų būti šiek tiek karštesnės. Tačiau kadangi Pietų pusrutulyje yra daug daugiau vandenynų (kurie sugeria ir kaupia šilumą), praktiškai šis efektas yra sušvelnintas.
Kai geometrija tampa inžinerijos problema
Žemės kreivumas nėra tik teorinis dalykas. Jis turi labai konkrečių pasekmių inžinerijoje, ir kai kurie šie faktai yra tikrai stulbinantys.
Paimkime tiltus. Ilgi tiltai turi būti projektuojami atsižvelgiant į Žemės kreivumą. Humber tiltas Anglijoje, kurio ilgis yra 1,4 kilometro, yra klasikinis pavyzdys: jo du bokštai nėra lygiagrečiai – jie yra 36 milimetrais toliau vienas nuo kito viršuje nei apačioje, nes Žemės paviršius tarp jų yra išlenktas. Jei bokštai būtų statomi tobulai vertikaliai (pagal gravitaciją), jų viršūnės dėl Žemės kreivumo būtų toliau viena nuo kitos.
Arba paimkime geležinkelius. Ilgų geležinkelių tiesimo metu inžinieriai turi nuolat koreguoti aukštį, nes Žemės kreivumas reiškia, kad „tiesi” linija ant žemės paviršiaus iš tikrųjų yra lankas. Kas 1 kilometrą Žemės paviršius „nukrenta” apie 8 centimetrus žemiau geometriškai tiesios linijos. Tai atrodo nedaug, bet 100 kilometrų atkarpoje jau susikauptų 800 metrų skirtumas – jei inžinieriai to neatsižvelgtų.
Dar vienas įdomus atvejis – lazeriai ir optiniai ryšiai. Ilgų nuotolių optiniai kabeliai ir radijo ryšio bokštai turi būti projektuojami atsižvelgiant į tai, kad Žemė yra apvali. Radijo bangos sklinda tiesiai, bet Žemė yra išlenkta – todėl už tam tikro atstumo signalas tiesiog „pereina” virš horizonto. Štai kodėl reikia tarpinių retransliatorių.
Praktinis patarimas statybininkams ir inžinieriams: jei dirbate su projektais, kurių ilgis viršija kelis šimtus metrų, visada konsultuokitės su geodezininku dėl Žemės kreivumo korekcijų. Tai gali atrodyti smulkmena, bet ilgalaikėje perspektyvoje gali lemti reikšmingus nuokrypius.
Planeta, kuri vis dar mus stebina
Galėtume pagalvoti, kad Žemę jau žinome kaip savo penkis pirštus. Juk čia gyvename. Juk ją matavome, skaičiavome, fotografavome iš kosmoso. Ir vis dėlto kiekvienais metais geodezininkai, geofizikai ir matematikai atranda naujų niuansų – naujų anomalijų, naujų pokyčių, naujų klausimų.
Žemės forma nėra statiškas dalykas. Ji keičiasi dėl ledynų tirpimo – kai ledo masė nyksta, žemė po ja kyla. Ji keičiasi dėl požeminio vandens išsiurbimo – kai iš žemės išpumpuojame vandenį, kai kurios vietovės pradeda smegti. Los Andželas sminga maždaug 2 centimetrais per metus dėl požeminio vandens išsiurbimo. Džakarta – dar greičiau, kai kuriose vietose iki 25 centimetrų per metus.
Klimato kaita taip pat keičia Žemės formą. Kai Grenlandijos ir Antarktidos ledynai tirpsta, jų svoris nuo žemės nuimamas, ir ta žemė pradeda kilti. Tuo pačiu metu vandenynai tampa sunkesni – ir dugno pluta po jais šiek tiek lenkiasi žemyn. Visa tai yra matuojama, stebima, modeliuojama.
Ir galbūt svarbiausia žinia iš viso to: planeta, ant kurios gyvename, yra daug sudėtingesnė ir dinamiškesnė, nei atrodo iš pirmo žvilgsnio. Kiekvieną kartą, kai žiūrite į žemėlapį, prisiminkite – tai tik apytikslis, iškraipytas, supaprastintas tikrovės atspindys. Tikroji Žemė yra kažkas, ko negalima visiškai nupiešti, iki galo išmatuoti ar galutinai aprašyti. Ir tai, paradoksaliai, yra vienas gražiausių dalykų apie ją.
