Kai matematika tampa fiziniu eksperimentu
Yra tokių dalykų, kurie mokykloje atrodė grynai teoriniai – formulės, skaičiai, popierius. Bet kai tą pačią matematiką bandai pritaikyti realybėje, su rankomis, su daiktais, kurie guli ant stalo – viskas staiga tampa kur kas įdomiau. Apskritimo ilgio skaičiavimas naudojant virvę yra būtent toks atvejis. Tai nėra tiesiog „matematikos pamoka lauke” – tai tikras geometrijos ir fizikos susitikimas, kuris veikia, ir veikia puikiai.
Šis metodas tinka tiek tiems, kurie nori suprasti, iš kur atsiranda ta garsioji formulė C = 2πr, tiek tiems, kurie tiesiog nori išmatuoti kažką apvalaus namuose ir neturi po ranka skaičiuotuvo. Ar žinojote, kad senovės egiptiečiai ir graikai naudojo panašius metodus, kol dar nebuvo jokių elektroninių priemonių? Virvė – tai seniausias matavimo įrankis žmonijos istorijoje, ir ji vis dar veikia.
Ko jums reikės ir kodėl tai paprasčiau, nei atrodo
Prieš pradedant, surinkite tai, ko reikia. Sąrašas tikrai neilgas:
- Virvė arba siūlas – geriausia, jei ji nelabai elastinga. Medvilninė virvutė ar net siuvimo siūlas tiks puikiai. Vengti reikia guminių virvių, nes jos tempiasi ir duos netikslų rezultatą.
- Liniuotė arba matavimo juosta – šiai daliai, kai virvę ištieste ir matuosite jos ilgį.
- Apvalus objektas – gali būti stiklinė, puodas, dviratis, medžio kamienas ar bet kas kitas, ko apskritimo ilgį norite sužinoti.
- Žymeklis arba lipni juosta – kad pažymėtumėte virvės pradžią ir pabaigą.
Viskas. Jokių specialių prietaisų, jokių programėlių. Tai yra vienas tų retų atvejų, kai paprastumas yra tikras privalumas, o ne kompromisas.
Žingsnis po žingsnio: kaip tai padaryti teisingai
Dabar pats procesas. Atrodytų, kas čia sudėtingo – apvyniok virvę aplink apskritimą ir matuok. Bet yra keletas niuansų, kurie lemia, ar gausite tikslų rezultatą, ar tik apytikslį.
Pirmas žingsnis: Paimkite virvę ir pažymėkite jos pradžią – tai gali būti mazgelis arba tiesiog lipnios juostos gabalėlis. Ši žymė bus jūsų atskaitos taškas.
Antras žingsnis: Apvyniokite virvę aplink objekto perimetrą lygiai vieną kartą. Svarbu, kad virvė eitų lygiai – ne įstrižai, ne bangomis, o tiesiai aplink patį didžiausią apskritimo tašką. Jei matuojate stiklinę, virvė turi eiti lygiagrečiai stalui, o ne kampu.
Trečias žingsnis: Ten, kur virvė susitinka su pradiniu žymekliu, padarykite antrą žymę. Dabar tarp dviejų žymių esantis virvės ilgis yra lygiai jūsų apskritimo ilgis – arba, matematiškai tariant, apskritimo perimetras.
Ketvirtas žingsnis: Ištieskite virvę ant lygaus paviršiaus ir išmatuokite atstumą tarp dviejų žymių naudodami liniuotę. Štai ir viskas – jūs gavote apskritimo ilgį.
Praktinis patarimas: jei objektas labai didelis (pavyzdžiui, medžio kamienas), paprašykite kito žmogaus padėti laikyti virvę, kol apvyniosite. Vienas žmogus gali lengvai padaryti klaidą, nes virvė slysta.
Ryšys su π – kaip virvė padeda suprasti skaičių, kurio niekas iki galo nesuvokia
Čia prasideda tikrai įdomus dalykas. Kai jau turite apskritimo ilgį (C) ir žinote objekto skersmenį (d) – tai yra atstumą nuo vieno krašto iki kito per centrą – galite patys „atrasti” skaičių π.
Padalinkite gautą apskritimo ilgį iš skersmens: C ÷ d = π. Jei viską darėte tiksliai, gausite skaičių labai artimą 3,14159… Tai yra π, ir jis visada bus toks pats, nesvarbu, ar matuojate mažą monetą, ar didžiulį apskritimą.
Štai kodėl šis eksperimentas yra toks vertingas – jis leidžia fiziškai pajusti, kad π nėra kažkoks sugalvotas skaičius. Jis yra realus, jis egzistuoja kiekvienoje apvalioje formoje aplink mus. Senovės graikų matematikas Archimedas tai suprato apie 250 m. pr. Kr., naudodamas daugiakampius, kad apytiksliai apskaičiuotų π reikšmę. Jūs tą patį galite padaryti per penkias minutes su virvute.
Jei norite patikrinti savo rezultatą: išmatuokite objekto spindulį (r) – tai pusė skersmens – ir padauginkite: C = 2 × π × r. Arba paprasčiau: C = π × d. Jei jūsų virvės matavimas sutampa su apskaičiuotu rezultatu, vadinasi, viską padarėte teisingai.
Dažniausios klaidos ir kaip jų išvengti
Nors metodas paprastas, žmonės vis tiek daro tam tikras klaidas. Štai keletas dažniausių:
Virvė apvyniojama ne lygiagrečiai. Tai bene dažniausia problema. Jei virvė eina kampu, ji faktiškai matuoja ne apskritimą, o elipsę arba netaisyklingą kreivę. Visada patikrinkite, ar virvė eina lygiai.
Per stiprus tempimas. Jei virvę tempiate per stipriai, ji gali šiek tiek pailgėti (ypač jei ji elastinga) arba „įspausti” į minkštą paviršių, suteikdama klaidingą rezultatą. Virvė turi būti prigludusi, bet ne įtempta.
Netikslus žymėjimas. Jei žymė yra stora arba netiksli, galite padaryti kelių milimetrų klaidą. Naudokite plonos linijos žymeklį arba adatą, kad žymė būtų kuo tikslesnė.
Objekto paviršius nelygus. Jei matuojate medžio kamieną ar kitą nelygų paviršių, virvė seks visas nelygumus ir duos didesnį rezultatą nei tikrasis apskritimas. Tokiu atveju geriau išmatuoti skersmenį ir naudoti formulę.
Praktinis patarimas: pakartokite matavimą 2-3 kartus ir paimkite vidurkį. Tai sumažins atsitiktinių klaidų poveikį ir duos tikslesnį rezultatą.
Kada virvė geriau nei formulė – realūs gyvenimo scenarijai
Galbūt galvojate: „Gerai, bet kam man to reikia, kai turiu telefoną su skaičiuotuvu?” Tiesą sakant, yra situacijų, kai virvė yra greičiau, paprasčiau ir tiksliau nei bet kokia formulė.
Įsivaizduokite, kad norite nupirkti naują padangą dviračiui, bet nežinote tikslaus dydžio. Apvyniojate virvę aplink seną padangą – ir jau žinote tikslų perimetrą. Arba statote sodą ir norite apskaičiuoti, kiek bordiūro jums reikės apvaliam gėlynui. Arba siuvate apvalią staltiesę ir norite žinoti, kiek medžiagos reikės kraštui.
Dar vienas praktinis atvejis: jei norite sužinoti medžio amžių, miškininkystėje naudojamas metodas, kai išmatuojamas kamieno apskritimas (vadinamas „krūtinės aukščio apimtimi”) ir pagal jį apskaičiuojamas skersmuo, o tada – apytikslis amžius. Tai tikras mokslinis metodas, kurį naudoja profesionalūs miškininkiai.
Virvė taip pat puikiai tinka tada, kai objektas yra netaisyklingos formos – ne idealus apskritimas, o kažkas panašaus į elipsę. Formulė tokiu atveju nepadės, bet virvė vis tiek duos tikslų perimetro matavimą.
Kaip šį metodą paversti įdomiu eksperimentu vaikams
Jei turite vaikų arba mokote juos, šis metodas yra aukso vertės. Vaikai labai gerai mokosi per fizinę patirtį – kai jie patys apvynioja virvę, patys matuoja, patys skaičiuoja ir patys mato, kad rezultatas sutampa su formule, matematika tampa gyva.
Štai kaip galima organizuoti tokį mini eksperimentą:
Surinkite kelis skirtingo dydžio apvalius objektus – stiklinę, lėkštę, puodą, dviračio ratą. Leiskite vaikui išmatuoti kiekvieno apskritimo ilgį su virve, tada išmatuoti skersmenį ir padalinti vieną iš kito. Kiekvieną kartą gausis tas pats skaičius – apie 3,14. Tai yra tas momentas, kai vaikas supranta, kad π nėra sugalvotas – jis yra tikras.
Galite net paversti tai varžybomis: kas tiksliau išmatuos, kieno rezultatas arčiausiai tikrojo π. Tai lavina ir tikslumo, ir kantrybės įgūdžius, o kartu moko geometrijos taip, kaip jokia vadovėlio formulė neišmokys.
Kai virvė tampa tiltu tarp senovės ir šiuolaikybės
Grįžkime prie didesnio paveikslo. Virvės metodas nėra tik praktinis triukas – jis yra ryšys su tūkstančių metų žmonijos pažinimo istorija. Senovės egiptiečiai naudojo virves su mazgais, kad matuotų žemę po Nilo potvynių. Graikai su virvėmis ir lazdomis konstruodavo geometrines figūras. Viduramžių statytojai su virvėmis tikrindavo, ar katedros skliautai yra taisyklingi.
Tai, ką jūs darote su virve ir stikline ant virtuvės stalo, yra ta pati matematika – tik dabar ji yra prieinama kiekvienam, ne tik mokytams žmonėms su specialiais instrumentais.
Ir galbūt tai yra svarbiausia pamoka iš viso šio eksperimento: matematika nėra kažkas abstraktaus, egzistuojančio tik vadovėliuose. Ji yra aplink mus, kiekvienoje apvalioje formoje, kiekvienoje kreivėje. Reikia tik virvės ir noro pažiūrėti atidžiau. Kito karto, kai pamatysite apvalų objektą – puodą, medžio kamieną, fontaną miesto aikštėje – prisiminkite, kad jo apskritimo ilgis yra tiksliai π kartų didesnis už jo skersmenį. Visada. Be išimčių. Ir tai galite patikrinti patys, su virvute kišenėje.
