Kai matematika dar neturėjo formulių
Įsivaizduokite pasaulį, kuriame norite apskaičiuoti lauko plotą, bet neturite nei popieriaus, nei rašiklio, nei – svarbiausia – jokios formulės. Ką darytumėte? Tikriausiai imtumėte virvę, eitumėte į lauką ir matuotumėte žingsnis po žingsnio. Lygiai taip darė senovės egiptiečiai, mesopotamiečiai ir daugelis kitų civilizacijų tūkstančius metų prieš tai, kol kas nors sugalvojo užrašyti matematinius santykius trumpa, elegantia forma.
Geometrijos formulių istorija – tai ne tik matematikos istorija. Tai žmonijos mąstymo evoliucijos istorija. Nuo konkrečių, apčiuopiamų problemų sprendimo iki abstrakčių simbolių, kurie gali apibūdinti bet kokią situaciją – šis kelias užtruko tūkstančius metų ir pareikalavo genialių protų iš visų pasaulio kampelių. Ir, tiesą sakant, šis kelias buvo daug vingiuotesnis, nei dažniausiai pasakojama mokyklose.
Egipto ir Mesopotamijos pragmatizmas – matematika iš būtinybės
Seniausios žinomos geometrinės žinios atkeliauja iš dviejų civilizacijų, kurios klestėjo maždaug tuo pačiu metu – senovės Egipto ir Mesopotamijos (dabartinis Irakas). Ir abiejose vyravo tas pats požiūris: matematika egzistuoja tam, kad išspręstų konkrečias, praktines problemas.
Egiptiečiai turėjo rimtą priežastį domėtis geometrija – Nilas. Kiekvienais metais upė užliejo žemumų laukus, ištrindama visas ribas tarp sklypų. Po potvynio reikėdavo iš naujo nustatyti, kur baigiasi vieno ūkininko žemė ir prasideda kito. Tam buvo reikalingi žmonės, kurie mokėjo matuoti ir skaičiuoti – vadinamieji „virvių tempėjai” arba harpedonaptai. Jų darbas buvo iš esmės taikomoji geometrija, nors jie patys šio žodžio tikriausiai nežinojo.
Ahmes papirusas (dar žinomas kaip Rindo papirusas), datuojamas maždaug 1650 m. pr. Kr., yra vienas svarbiausių matematikos istorijos dokumentų. Jame rasime ne formules abstrakčia prasme, o konkrečius uždavinius su sprendimais. Pavyzdžiui, kaip apskaičiuoti apskritimo plotą? Egiptiečiai naudojo tokį metodą: paimk apskritimo skersmenį, atimk devintadalį, ir gauto skaičiaus kvadratas yra plotas. Tai stebėtinai tikslu – jų „pi” reikšmė buvo apie 3,16, kai tikroji yra 3,14159…
Mesopotamijoje, kur rašyta ant molio lentelių dantiraščiu, matematika buvo dar labiau išvystyta. Babiloniečiai žinojo tai, ką mes dabar vadiname Pitagoro teorema – ir tai žinojo bent tūkstantį metų prieš Pitagorą! Plimpton 322 lentelė, datuojama apie 1800 m. pr. Kr., saugo Pitagoro trejetus – skaičių rinkinius, tenkinančius santykį a² + b² = c². Tačiau vėlgi – tai buvo sąrašai konkrečių skaičių, ne abstrakti formulė.
Skirtumas tarp „3, 4, 5 trikampis turi stačią kampą” ir „a² + b² = c² bet kokiam stačiakampiam trikampiui” atrodo nedidelis, bet iš tikrųjų tai milžiniškas konceptualus šuolis.
Graikai ir abstrakčios tiesos ieškojimas
Graikų indėlis į geometriją yra neįkainojamas, bet dažnai neteisingai suprantamas. Populiariojoje kultūroje Pitagoras vaizduojamas kaip žmogus, „atradęs” teoremą, pavadintą jo vardu. Realybė sudėtingesnė ir, tiesą sakant, įdomesnė.
Pitagoras (apie 570–495 m. pr. Kr.) ir jo sekėjai pirmieji pradėjo reikalauti įrodymų. Ne „mes žinome, kad tai veikia, nes bandėme daug kartų”, o „mes galime logiškai įrodyti, kad tai visada tiesa”. Šis poslinkis nuo empirinio prie deduktyvinio mąstymo buvo revoliucinis. Pitagoriečiai tikėjo, kad skaičiai ir geometriniai santykiai yra realesnė tikrovė nei tai, ką matome akimis.
Bet tikrasis graikų geometrijos triumfas atėjo su Euklidu (apie 300 m. pr. Kr.) ir jo „Elementais” – vienu įtakingiausių matematikos veikalų visoje istorijoje. Euklidas padarė kažką genialaus: jis paėmė visas žinomas geometrines tiesas ir suorganizavo jas į nuoseklią sistemą, kuri remiasi keliomis pagrindinėmis aksiomomis. Iš šių paprastų pradinių teiginių jis išvedė šimtus teoremų.
Tačiau čia svarbu pastebėti: Euklido „formulės” atrodė visiškai kitaip nei tos, kurias matome šiuolaikiniuose vadovėliuose. Jis rašė žodžiais, ne simboliais. Pitagoro teorema jo užrašyta maždaug taip: „Stačiakampio trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus abiejų statinių kvadratų sumai.” Jokių a, b, c. Jokių simbolių. Tik žodžiai.
Archimedes (287–212 m. pr. Kr.) nuvijo geometrijos ribas dar toliau. Jis apskaičiavo pi reikšmę su stulbinančiu tikslumu, naudodamas įbrėžtų ir apbrėžtų daugiakampių metodą. Jo darbas su sferų ir cilindrų tūriais buvo toks pažangus, kad jis pats laikė jį svarbiausiu savo pasiekimu – ir prašė ant kapo pastatyti skulptūrą, vaizduojančią sferą cilindre.
Viduramžiai – ne tamsieji amžiai matematikai
Tradicinis pasakojimas apie viduramžius kaip „tamsiuosius amžius” yra labai neteisingas, ypač kalbant apie matematiką. Tiesa, Europoje tuo metu nebuvo didelio matematinio progreso, bet islamo pasaulyje matematika klestėjo kaip niekada anksčiau.
Al-Khwarizmi (apie 780–850 m. po Kr.) – žmogus, kurio vardas davė mums žodį „algoritmas” – parašė veikalą, kuris pakeitė matematiką visam laikui. Jo „Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala” (iš kurio kilo žodis „algebra”) sujungė geometriją ir aritmetiką naujais būdais. Nors jis vis dar rašė žodžiais, o ne simboliais, jo metodai leido spręsti geometrines problemas algebrainiais metodais.
Islamo matematikai taip pat išsaugojo ir išplėtojo graikų žinias. Jie vertė Euklido, Archimedo ir kitų graikų veikalus į arabų kalbą, pridėdami savo komentarus ir atradimus. Be šio darbo, daugelis antikinių tekstų tiesiog būtų prarasti.
Europoje matematinis atgimimas prasidėjo apie XII–XIII amžių, kai lotynų vertėjai pradėjo versti arabiškus tekstus. Leonardo Fibonacci (apie 1170–1250) – žinomas dėl savo skaičių sekos – buvo vienas pirmųjų europiečių, kurie rimtai studijavo arabų matematiką ir ją pristatė Europai. Jo „Liber Abaci” (1202) supažindino Europą su hindu-arabų skaičių sistema, kuri galiausiai pakeitė nepatogius romėniškus skaičius.
Simbolių revoliucija – kai matematika tapo kalba
Vienas svarbiausių, bet dažnai neįvertintų matematikos istorijos momentų – simbolių atsiradimas. Mes taip įpratę matyti x², √, π, ∫, kad net nesusimąstome, jog kažkas turėjo šiuos simbolius sugalvoti.
Procesas buvo lėtas ir netvarkus. Skirtingi matematikai naudojo skirtingus simbolius tam pačiam dalykui žymėti, o tai sukeldavo begalinę painiavą. Renesanso laikotarpiu (XV–XVI a.) matematikai pradėjo aktyviau ieškoti universalios simbolių sistemos.
François Viète (1540–1603), prancūzų matematikas, padarė lūžinį žingsnį: jis pradėjo naudoti raides žymėti ne tik nežinomus dydžius, bet ir žinomus parametrus. Tai leido rašyti bendras formules, taikomas daugeliui konkrečių atvejų. Vietoj to, kad rašytum „kvadrato plotas yra jo kraštinės ilgio kvadratas”, galėjai rašyti A = a². Paprasčiau, tiesa?
René Descartes (1596–1650) – taip, tas pats filosofas, kuris sakė „Cogito, ergo sum” – padarė kažką, kas visiškai pakeitė geometriją. Jis sujungė geometriją su algebra, sukurdamas koordinačių sistemą. Dabar geometrinės figūros galėjo būti aprašytos lygtimis, o algebrinės lygtys – vaizduojamos geometriškai. Tai buvo tiltas tarp dviejų matematikos pasaulių, ir šis tiltas atvėrė kelią į analizinę geometriją bei vėliau – į skaičiavimą.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) ir Isaac Newton (1643–1727) – nepriklausomai vienas nuo kito – sukūrė matematinę analizę, kuri davė mums naujus įrankius geometrinėms problemoms spręsti. Leibnizo sukurta notacija (∫ integralui, d diferencijalui) yra tokia patogi, kad naudojame ją iki šiol, net po trijų šimtų metų.
Euklido geometrija susvyravo – ir tai buvo puiku
XIX amžiuje įvyko kažkas, kas matematikų pasaulį sukrėtė iki pat pamatų. Matematikai Nikolajus Lobačevskis (1792–1856) ir Jánoshas Bolyai (1802–1860) – nepriklausomai vienas nuo kito – parodė, kad galima sukurti nuoseklią geometriją, kuri nepripažįsta Euklido penktos aksiomos (lygiagrečių tiesių aksiomos).
Euklido geometrija veikia puikiai plokščiame paviršiuje. Bet kas nutinka ant sferos paviršiaus? Ten trikampio kampų suma nėra 180 laipsnių – ji gali būti didesnė. O hiperbolinėje geometrijoje – mažesnė. Tai ne klaida, tai tiesiog kita geometrija, kuri aprašo kitokius paviršius.
Bernhard Riemann (1826–1866) šias idėjas išplėtė į bendrosios Riemanno geometrijos teoriją, kuri vėliau tapo matematine Einšteino bendrosios reliatyvumo teorijos pagrindu. Paaiškėjo, kad mūsų Visata nėra „plokščia” Euklido prasme – gravitacija lenkia erdvę ir laiką, ir tai galima aprašyti geometriškai.
Šis atradimas turėjo gilią filosofinę reikšmę: paaiškėjo, kad geometrijos formulės nėra absoliučios tiesos apie tikrovę. Jos yra modeliai, kurie tiksliai aprašo tam tikrus atvejus, bet gali neveikti kituose kontekstuose. Tai buvo didelis nuolankumo pamoka matematikams, kurie iki tol tikėjo, kad Euklido geometrija yra vienintelė galima.
Kaip geometrijos formulės atkeliauja į mūsų mokyklas
Čia verta sustoti ir pagalvoti apie tai, kaip visa ši istorija veikia mus, paprastus žmones, kurie mokykloje mokėmės geometrijos. Formulės, kurias rašėme sąsiuviniuose – apskritimo plotas πr², trikampio plotas ½bh, Pitagoro teorema a² + b² = c² – yra tūkstančių metų matematinio mąstymo distiliatas.
Problema ta, kad mokyklose dažnai mokoma formulių, bet ne jų istorijos ar logikos. Mokiniai išmoksta, kad apskritimo plotas yra πr², bet retai sužino, kaip Archimedes tai išvedė, naudodamas begalinių daugiakampių metodą, kuris iš esmės yra integralo pirmtakas. Retai pasakojama, kad egiptiečiai turėjo savo versiją šios formulės, kuri buvo netikslesnė, bet veikė pakankamai gerai praktiniams tikslams.
Jei norite geriau suprasti geometrijos formules (ar padėti tai padaryti savo vaikams), štai keletas praktinių patarimų:
- Bandykite išvesti formules patys. Pavyzdžiui, trikampio plotas – pabandykite suprasti, kodėl jis yra pusė stačiakampio ploto. Nubraižykite bet kokį trikampį, apbrėžkite jį stačiakampiu ir pamatysite, kad trikampis visada užima lygiai pusę stačiakampio ploto.
- Ieškokite ryšių tarp formulių. Cilindro tūrio formulė πr²h yra tiesiog apskritimo ploto formulė, padauginta iš aukščio. Tai ne atsitiktinumas.
- Naudokite istorinius metodus. Archimedo metodas pi reikšmei apskaičiuoti – braižyti vis daugiau kampų turinčius daugiakampius apskritimo viduje ir išorėje – yra puikus būdas intuityviai suprasti, kas yra pi.
- Žaiskite su neeuklido geometrija. Paimkite apelsiną ir pabandykite nubraižyti ant jo paviršiaus trikampį su trimis statais kampais. Tai įmanoma! Ir tai rodo, kad geometrija gali būti visiškai kitokia nei ta, kurią mokėtės mokykloje.
Formulės kaip gyvas organizmas – ir ką tai reiškia šiandien
Geometrijos formulių istorija nesibaigė su Descartes ar net su Riemann. Ji tęsiasi iki šiol, ir šiuolaikinė matematika bei fizika nuolat atranda naujų geometrinių struktūrų, kurioms reikia naujų formulių.
Fraktalinė geometrija, kurią XX amžiaus antroje pusėje išplėtojo Benoît Mandelbrot, aprašo formas, kurios yra „tarp” dimensijų – fraktalinė dimensija gali būti, pavyzdžiui, 1,5. Tai skamba keistai, bet fraktalai puikiai aprašo gamtos formas – pakrantės liniją, debesų kontūrus, kraujagyslių sistemas. Tradicinės geometrijos formulės čia neveikia.
Topologija – matematikos šaka, kuri tiria savybes, išliekančias deformuojant figūras – turi savo formules ir teoremas, kurios atrodo visiškai kitaip nei Euklido geometrija. Euler charakteristika (V – E + F = 2 daugiasienių atveju, kur V – viršūnės, E – briaunos, F – sienos) yra elegantiškas pavyzdys formulės, kuri aprašo kažką giliai tikrą apie trimatės erdvės struktūrą.
Kompiuterinė grafika, dirbtinis intelektas, robotika, architektūra, medicininė diagnostika – visur geometrijos formulės atlieka svarbų vaidmenį. Kai jūsų telefonas atpažįsta jūsų veidą, jis naudoja geometrinius algoritmus. Kai GPS sistema apskaičiuoja maršrutą, ji naudoja sferinę geometriją (nes Žemė nėra plokščia). Kai architektas projektuoja pastato stogą, jis naudoja formules, kurių šaknys siekia senovės Egipto „virvių tempėjus”.
Tad kitą kartą, kai pamatysite formulę a² + b² = c², prisiminkite: tai ne tik abstraktus simbolių rinkinys. Tai tūkstančių metų žmonijos pastangų, klaidų, atradimų ir genialumo koncentratas. Tai babiloniečių molio lentelės ir graikų filosofų disputai, islamo matematikų bibliotekos ir Renesanso simbolių revoliucija, visa tai supresuota į kelis simbolius, kuriuos galima užrašyti per sekundę. Ir tai, kad mes galime tai padaryti – užrašyti per sekundę tai, ko žmonija mokėsi tūkstančius metų – yra vienas nuostabiausių dalykų, kuriuos žmonija kada nors sukūrė.
