Kai apskritimas buvo mįslė, kurią reikėjo išspręsti
Pagalvokite apie tai: jūs esate senovės egiptiečių architektas ir turite pastatyti koloną. Žinote, kad ji turi būti apvali, žinote, koks turi būti jos perimetras, bet kaip apskaičiuoti skersmenį? Nėra skaičiuotuvo, nėra interneto, nėra net popieriaus tokia prasme, kaip mes jį suprantame. Tik molio lentelė, lazda ir labai daug proto.
Skritulio skersmens matavimas – tai viena iš tų temų, kurios iš pirmo žvilgsnio atrodo banaliai paprastos, bet kai pradedi kasti giliau, supranti, kad žmonija šimtmečius laužė galvą dėl šio, atrodytų, elementaraus dalyko. Ir ne todėl, kad žmonės buvo kvaili – priešingai. Problema buvo ta, kad apskritimas yra geometriškai tobulas, bet matematiškai sudėtingas. Jis slepia savyje skaičių π (pi), kuris iki šiol neturi pabaigos ir negali būti tiksliai išreikštas paprastu trupmenų santykiu.
Šiame straipsnyje pasivaikščiosime per istoriją ir pažiūrėsime, kaip skirtingos civilizacijos, skirtingais įrankiais ir skirtingomis idėjomis, bandė išspręsti šią geometrinę mįslę. Kai kurie sprendimai buvo genialūs, kai kurie – juokingi, o kai kurie – tiesiog stulbinančiai tikslūs net pagal šiuolaikinį matą.
Virvelė, lazda ir akis – pirmieji matavimo įrankiai
Prieš bet kokią matematiką buvo praktika. Senovės žmonės, statydami apvalius pastatus, kasdami šulinius ar gamindami ratus, turėjo kažkaip nustatyti apskritimo dydį. Ir pirmasis įrankis buvo pats paprasčiausias įmanomas – virvelė.
Principas buvo toks: apvynioji virvelę aplink apvalų objektą, gauni perimetrą. Tada tą pačią virvelę perbraugi per centrą – gauni skersmenį. Bet čia ir prasideda problema. Kaip rasti tikslų centrą? Kaip žinoti, kad virvelė eina tiksliai per vidurį, o ne šiek tiek į šoną? Senovės amatininkai tai sprendė grynai empiriškai – per bandymus ir klaidas, per patirtį, perduodamą iš kartos į kartą.
Mesopotamijoje, maždaug prieš 4000 metų, buvo naudojamas metodas, kurį galėtume pavadinti „dvigubo lanko” technika. Įsmeigi kuolą į žemę, prie jo pririši virvelę ir braižai apskritimą. Skersmuo – tai ta pati virvelė, padvigubinta. Skamba paprastai? Taip, bet šis metodas veikė tik tada, kai žinojai spindulį iš anksto. Jei turėjai jau egzistuojantį apvalų objektą ir norėjai išmatuoti jo skersmenį – reikėjo kitokio požiūrio.
Praktinis patarimas, kurį naudojo senovės dailidės ir kurį galite išbandyti patys: pastatykite apvalų objektą ant popieriaus lapo, apbrėžkite jį pieštuku, tada nupieštame apskritime nubrėžkite bet kokią stygą (liniją, jungiančią du apskritimo taškus). Nubrėžkite dar vieną stygą, statmeną pirmajai. Jų susikirtimo taškas bus labai arti centro. Tai gruboka, bet veikianti technika, kurią žmonės naudojo šimtmečius prieš formalią geometriją.
Babiloniečiai ir egiptiečiai – pirmieji skaičių žongleriai
Babiloniečiai buvo tikri matematikos entuziastai. Jų molio lentelės, datuojamos maždaug 1900–1600 m. pr. Kr., rodo, kad jie naudojo π reikšmę, lygią 3 arba tiksliau 3 ir 1/8, tai yra 3,125. Tai nėra labai tikslu (tikroji π reikšmė yra 3,14159…), bet pakankamai gerai statyboms ir praktiniams tikslams.
Egiptiečiai ėjo kitu keliu. Garsajame Rindo papiruse (parašytame apie 1650 m. pr. Kr., bet nukopijuotame iš dar senesnių šaltinių) randame formulę, kuri rodo, kad egiptiečiai skaičiavo apskritimo plotą kaip kvadrato, kurio kraštinė lygi 8/9 skersmens, plotą. Jei išsprendžiate šią lygtį, gausite π ≈ 3,1605. Tai stulbinančiai tikslu civilizacijai, kuri neturėjo algebros!
Bet kaip jie praktiškai matavo skersmenį? Čia įdomu. Egiptiečiai naudojo specialius liniuočius – cubitų lazdas – ir gana sudėtingas virvelių sistemas. Žinomas faktas, kad Didžiosios piramidės statyboje naudoti akmenys buvo apdirbami su neįtikėtinu tikslumu, o tai reiškia, kad matavimo sistemos turėjo būti labai patikimos. Manoma, kad jie naudojo specialius „matavimo ratus” – primityvius odometrus, kurie skaičiavo apsisukimus ir taip nustatydavo atstumą bei perimetrą.
Įdomus faktas: egiptiečių „royal cubit” (karališkasis uolektis) buvo standartizuotas matavimo vienetas, lygus maždaug 52,3–52,4 cm. Jie turėjo fizinius etalonus – granito ar bazalto lazdas – saugomus šventyklose. Tai buvo senovės pasaulio „standartų biuras”.
Archimedo genialumas – kai matematika tapo tiksliu mokslu
Jei reikėtų pavadinti vieną žmogų, kuris labiausiai pakeitė tai, kaip mes suprantame skritulio matavimą, tas žmogus būtų Archimedas iš Sirakūzų (287–212 m. pr. Kr.). Šis graikų matematikas padarė kažką, ko niekas prieš jį nebuvo padaręs sistemingai: jis įrodė, kad π yra tarp 223/71 ir 22/7, tai yra tarp 3,1408 ir 3,1429.
Kaip jis tai padarė? Jo metodas buvo elegantiškai paprastas savo idėja, bet sudėtingas vykdyme. Jis įrašė į apskritimą daugiakampį (daugiakampį, kurio visos viršūnės liečia apskritimą iš vidaus) ir apibrėžė apie apskritimą kitą daugiakampį (kurio kraštinės liečia apskritimą iš išorės). Kuo daugiau kraštinių turėjo daugiakampiai, tuo arčiau apskritimo jie buvo. Archimedas pasiekė 96 kraštinių daugiakampį – ir tai rankiniais skaičiavimais, be jokių modernių įrankių!
Šis metodas, vadinamas išsekimo metodu, buvo revoliucinis, nes jis leido ne tik praktiškai matuoti, bet ir teoriškai įrodyti, kokiose ribose yra tikroji reikšmė. Tai buvo perėjimas nuo „maždaug tiek” prie „tikrai tarp šių dviejų skaičių”.
Praktine prasme Archimedo darbas reiškė, kad inžinieriai ir architektai galėjo naudoti 22/7 kaip labai gerą π aproksimaciją. Ši trupmena iki šiol naudojama mokyklose kaip patogu π apytikslė reikšmė – ir tai yra tiesioginis Archimedo palikimas, gyvas jau daugiau nei 2000 metų.
Viduramžiai ir Rytai – kai Europa miegojo, kiti skaičiavo
Vakarų Europoje po Romos imperijos žlugimo matematikos raida gerokai sulėtėjo. Bet tuo metu Indijoje, Kinijoje ir arabų pasaulyje vyko tikra matematinė revoliucija.
Indų matematikas Aryabhata (476–550 m. po Kr.) apskaičiavo π kaip 62832/20000 = 3,1416 – tai stulbinančiai tikslu. Jis rašė, kad šis skaičius yra „apytikslis”, parodydamas, kad jau tada buvo suprantama, jog tikslios reikšmės pasiekti neįmanoma. Kitas indų matematikas Madhava iš Sangamagrama (apie 1340–1425 m.) apskaičiavo π iki 11 skaitmenų po kablelio – tai buvo pasaulio rekordas savo metu.
Kinijoje matematikas Liu Hui III amžiuje po Kr. naudojo 3072 kraštinių daugiakampį ir gavo π ≈ 3,14159. Jo pasekėjas Zu Chongzhi V amžiuje pasiekė dar tikslesnę reikšmę: 355/113 = 3,14159292… Ši trupmena yra tokia tiksli, kad klaida yra mažesnė nei 0,000001%. Europiečiai šią tikslumą pasiekė tik po tūkstančio metų!
Arabų pasaulyje Al-Khwarizmi (nuo kurio vardo kilo žodis „algoritmas”) ir kiti matematikai ne tik išsaugojo graikų žinias, bet ir jas plėtojo. Jie taip pat tobulino praktinius matavimo įrankius – kompasus, liniuočius, specialius apskritimų matavimo prietaisus, kurie buvo naudojami astronomijoje ir navigacijoje.
Įdomu tai, kad viduramžių arabų astronomai turėjo labai praktinę priežastį tiksliai matuoti apskritimus: jiems reikėjo apskaičiuoti planetų orbitas. Klaidinga π reikšmė galėjo reikšti klaidingą laivo poziciją ar neteisingą Mekos kryptį maldai – o tai buvo ne tik mokslinė, bet ir religinė problema.
Renesansas ir mechaniniai išradimai – ratai, kurie matuoja
Renesanso laikotarpis atnešė ne tik meno ir mokslo atgimimą, bet ir praktinius išradimus, kurie pakeitė matavimo būdus. Vienas įdomiausių – hodometras arba odometras, prietaisas, matuojantis nuvažiuotą atstumą per rato apsisukimų skaičiavimą.
Principas buvo paprastas ir genialus: jei žinai rato skersmenį, gali apskaičiuoti jo perimetrą (naudodamas π), o tada, suskaičiavęs apsisukimus, gauni nuvažiuotą atstumą. Bet čia yra subtilumas – norint tiksliai matuoti atstumą, pirmiausia reikėjo tiksliai žinoti rato skersmenį. Taigi problema apsisuko ratu (atleiskite už žodžių žaismą): norėdami matuoti apskritimus, naudojome apskritimus.
Leonardo da Vinci, tas amžinas išradėjas, projektavo įvairius matavimo prietaisus, įskaitant tobulesnius kompasus su fiksuotu kampu, leidžiančius tiksliai perkelti matavimus iš vieno objekto ant kito. Jo užrašų knygelėse galima rasti eskizus prietaisų, kurie iš esmės buvo analoginiai skersmens matuokliai – kažkas panašaus į šiuolaikinį šturmvokį, tik pagamintą iš medžio ir metalo.
Tuo pačiu metu Europoje plito kalibrai – matavimo įrankiai, leidžiantys tiksliai nustatyti apvalių objektų skersmenį. Pirmieji kalibrai buvo paprasti – dvi metalinės kojos, kurias galėjai prisitaikyti prie objekto ir tada išmatuoti atstumą tarp kojų. Vėliau atsirado varžtiniai kalibrai su skalėmis, leidžiantys matuoti su milimetro tikslumu.
Vernier kalibras ir pramoninė revoliucija – tikslumas tampa standartu
1631 metais prancūzų matematikas Pierre Vernier išrado prietaisą, kuris pakeitė tikslių matavimų pasaulį – Vernier skalę. Ši skalė leido matuoti su 0,1 mm ar net 0,05 mm tikslumu – tai buvo revoliucija tuo metu, kai geriausi meistrai rankomis galėjo pasiekti geriausiu atveju 0,5–1 mm tikslumą.
Vernier kalibras, naudojantis šią skalę, tapo pagrindiniu įrankiu matuojant apvalių objektų skersmenį. Jo veikimo principas: yra pagrindinė skalė ir mažesnė papildoma skalė (Vernier skalė), kuri slysta palei pagrindinę. Kai matavimo kojos suspaudžiamos aplink objektą, pagrindinė skalė parodo milimetrus, o Vernier skalė – dešimtąsias milimetro dalis.
Pramoninės revoliucijos metu (XVIII–XIX a.) tikslūs matavimai tapo ne akademiniu žaidimu, o ekonomine būtinybe. Garo varikliai, tekstilės mašinos, ginklai – visa tai reikalavo dalių, kurios tiksliai tilptų viena į kitą. Jei cilindro skersmuo buvo per didelis ar per mažas nors pusę milimetro, stūmoklis neveikė tinkamai. Tai paskatino dar tikslesnių matavimo įrankių kūrimą.
Šiuo laikotarpiu atsirado mikrometras – prietaisas, galintis matuoti su 0,01 mm tikslumu. Pirmąjį praktišką mikrometrą 1848 metais sukūrė prancūzų instrumentų gamintojas Jean-Louis Palmer. Vėliau amerikiečių kompanija Brown & Sharpe jį patobulino ir pradėjo masinę gamybą. Šiuolaikiniai mikrometrai gali matuoti su 0,001 mm tikslumu – tai yra tūkstantoji milimetro dalis, plika akimi visiškai nematoma.
Jei kada nors turėsite progą, pabandykite naudoti Vernier kalibrą – tai vienas iš tų įrankių, kurie iš karto suteikia fizinį ryšį su šimtamete matavimo tradicija. Juos galima nusipirkti už 10–20 eurų, ir jie puikiai tinka namų dirbtuvėms.
Nuo virvelės iki lazerio – kaip mes matuojame šiandien
Šiuolaikiniai skersmens matavimo metodai yra tokie tikslūs, kad senovės egiptiečiai tikriausiai laikytų juos magija. Pramonėje naudojami optiniai matavimo prietaisai, kurie naudoja lazerio spindulį, kad nustatytų objekto skersmenį be jokio fizinio kontakto. Šie prietaisai gali matuoti su 0,0001 mm tikslumu – tai yra viena dešimtoji mikrono, mažiau nei daugelio bakterijų dydis.
Koordinačių matavimo mašinos (CMM) gali skenuoti sudėtingus apvalius objektus ir apskaičiuoti jų tikslų skersmenį tūkstančiuose taškų vienu metu. Kompiuterinė tomografija (CT skenavimas), dažniausiai siejama su medicina, pramonėje naudojama tiksliai išmatuoti vidinių kanalų ir ertmių skersmenį be objekto ardymo.
Tačiau įdomiausia tai, kad net ir šiandien, su visa šia technologija, pagrindiniai principai išliko tie patys. Vis dar matuojame atstumą tarp dviejų priešingų apskritimo taškų. Vis dar naudojame π, kurį Archimedas apskaičiavo prieš 2300 metų. Vis dar susiduriame su ta pačia fundamentalia problema – apskritimas yra tobulas, bet π yra begalinis ir neracionalus skaičius, kurį galime tik artinti, bet niekada tiksliai išreikšti.
Šiuolaikiniai kompiuteriai apskaičiavo π iki trilijonų skaitmenų po kablelio – 2021 metais Šveicarijos mokslininkai pasiekė 62,8 trilijono skaitmenų rekordą. Bet praktiniams tikslams – net ir pačioms tiksliausioms inžinerinėms užduotims – pakanka 15–20 skaitmenų po kablelio. Visa kita yra grynai akademinis iššūkis.
Apskritimas kaip žmonijos veidrodis
Kai žiūri į visą šią istoriją – nuo senovės egiptiečių virvelių iki šiuolaikinių lazerinių matavimo sistemų – negali nepastebėti kažko gilesnio. Skritulio skersmens matavimas nėra tik techninė problema. Tai savotiškas žmonijos intelektualinės pažangos barometras.
Kiekviena civilizacija, susidūrusi su šia problema, ją sprendė pagal savo galimybes ir poreikius. Babiloniečiams pakako 3,125 – jų pastatai stovėjo. Archimedesui to neužteko – jis norėjo žinoti tikslias ribas. Indų matematikams neužteko ir to – jie skaičiavo dešimtis skaitmenų po kablelio, ne dėl praktinės būtinybės, o dėl grynos intelektualinės aistros.
Ir štai kas įdomiausia: net šiandien, kai turime visus šiuos nuostabius įrankius, mes vis dar naudojame tuos pačius principus. Jei jūsų namų darbų stalčiuje yra paprastas liniuotis ir virvelė, galite išmatuoti bet kokio apvalaus objekto skersmenį lygiai taip pat, kaip tai darė senovės egiptiečiai. Technologija pasikeitė, bet geometrija – ne.
Galbūt tai ir yra apskritimo grožis: jis vienodai tobulas tiek molio lentelėje, tiek kompiuterio ekrane. Ir ta tobulybė, tas begalinis π, sleipiantis savyje begalinę paslaptį, yra priežastis, kodėl žmonės tūkstančius metų negali nustoti jo matuoti, skaičiuoti ir stebėtis.
Kitą kartą, kai matysite apvalų objektą – ratą, puodą, monetą – prisiminkite, kad kažkur istorijos gelmėse kažkas sėdėjo su virvelė rankose ir galvojo lygiai tą patį, ką jūs galvojate dabar: kaip tiksliai išmatuoti šį tobulą, neišmatuojamą dalyką?
