Kai matematika nusprendė, kad senų apibrėžimų nebepakanka
Įsivaizduok, kad šimtus metų naudojai žodį „gyvūnas” ir visi suprasdavo, ką turi omenyje. O paskui kažkas paklausė: „Gerai, bet ar virusas yra gyvūnas?” Ir viskas subyrėjo. Lygiai taip pat nutinka matematikoje – sąvokos, kurios atrodė akivaizdžios ir tvirtai apibrėžtos, staiga pasirodo esančios trapios kaip stiklas, kai tik kas nors pradeda klausinėti nepatogių klausimų.
Matematikos istorija yra ne tik skaičių ir formulių istorija. Tai – žmonių, ginčijusių vienas kito apibrėžimus, istorija. Tai – krizių, kurios privertė perrašyti vadovėlius, istorija. Ir, tiesą sakant, tai viena įdomiausių intelektualinių dramų, kokias žmonija yra išgyvenusi.
Skaičius – kas tai per daiktas?
Pradėkime nuo pačio pagrindo. Kas yra skaičius? Atrodytų, kvailiau klausimo ir nesugalvosi. Bet pabandyk atsakyti tiksliai, ir greitai pamatysi, kad tai nėra taip paprasta.
Senovės graikai turėjo labai aiškų atsakymą: skaičiai yra natūralieji skaičiai – 1, 2, 3 ir taip toliau. Viskas. Taškas. Pitagoras ir jo pasekėjai buvo įsitikinę, kad visata yra sudaryta iš sveikųjų skaičių santykių. Muzika? Stygų ilgių santykiai. Astronomija? Planetų orbitų proporcijos. Jie tikrai manė, kad viskas gali būti išreikšta trupmenomis.
Tada vienas iš pitagoriečių – legenda sako, kad tai buvo Hipassas iš Metaponto – apskaičiavo, kad kvadrato įstrižainės ir jo kraštinės santykis negali būti išreikštas jokia trupmenų forma. √2 yra iracionalus skaičius. Pasak legendos, Hipassas už šį atradimą buvo nuskandinta jūroje, nes jo mokytojai nenorėjo pripažinti, kad jų pasaulėvaizdis yra klaidingas. Tikriausiai tai tik legenda, bet ji puikiai iliustruoja, kaip skausmingai matematikai kartais priima naujus apibrėžimus.
Vėliau atsirado neigiami skaičiai. Europos matematikai ilgai juos vadino „absurdiškais” arba „klaidingais”. Italų renesanso matematikai, sprendę kubines lygtis, susidūrė su kvadratinėmis šaknimis iš neigiamų skaičių ir pradėjo juos vadinti „įsivaizduojamaisiais” – taip ir liko iki šiol, nors dabar kompleksiniai skaičiai yra visiškai rimta ir nepaprastai naudinga matematikos dalis.
Praktinis patarimas: Jei kada nors mokysi vaikus matematikos ir jie klausia, kodėl neigiami skaičiai „egzistuoja”, papasakok jiems apie skolas. -5 eurų reiškia, kad esi skolingas 5 eurus. Tai ne filosofija – tai kasdienybė. Apibrėžimai matematikoje dažnai kyla iš praktinių poreikių, o ne iš abstrakčių samprotavimų.
Begalybė – kai matematikai prarado ramybę
Jei skaičiaus apibrėžimo evoliucija buvo dramatiška, tai begalybės sąvokos istorija yra tiesiog siurrealistinė.
Graikai begalybės bijojo. Aristotelis skyrė „potencialią begalybę” (galima skaičiuoti be galo) nuo „aktualiosios begalybės” (begalybė kaip baigtas objektas) ir teigė, kad pastaroji tiesiog neegzistuoja. Ši pozicija išsilaikė daugiau nei du tūkstančius metų. Net Gauss, vienas didžiausių matematikų istorijoje, XIX amžiuje rašė, kad begalybė kaip baigtas dydis yra „neleistina” matematikoje.
Tada atėjo Georgas Cantoras. Ir viskas pasikeitė.
Cantoras ne tik pasakė, kad aktualiosios begalybės egzistuoja – jis įrodė, kad jų yra skirtingų dydžių. Natūraliųjų skaičių begalybė yra mažesnė už realiųjų skaičių begalybę. Tai ne metafora – tai griežtas matematinis teiginys. Jis sukūrė naują sąvoką – kardinalinį skaičių – kad galėtų kalbėti apie begalinių aibių „dydžius”.
Matematikos bendruomenė reagavo… ne pačiu geriausiu būdu. Cantoro kolega Leopoldas Kroneckeris jį vadino „matematikos korumpuotoju” ir „neišmanėliu”. Cantoras kentėjo nuo depresijos, daug laiko praleido psichiatrinėse klinikose. Tik po jo mirties jo idėjos buvo visiškai pripažintos ir tapo šiuolaikinės matematikos pagrindu.
Šiandien Cantoro teorija yra standartinis universiteto kursas. Bet jos atsiradimas priminė ne akademinę diskusiją, o tikrą ideologinį karą.
Funkcija – sąvoka, kuri buvo apibrėžta keturis kartus
Funkcijos sąvoka yra puikus pavyzdys, kaip matematiniai apibrėžimai keičiasi ne dėl to, kad senasis buvo klaidingas, o dėl to, kad matematika plėtėsi į naujas sritis ir reikėjo platesnio apibrėžimo.
Leibnizas XVII amžiuje vartojo žodį „funkcija” kalbėdamas apie kreivės savybes – pavyzdžiui, liestinę tam tikrame taške. Tai buvo labai konkretus, geometrinis supratimas. Euler XVIII amžiuje apibrėžė funkciją kaip analitinę išraišką – formulę, sudarytą iš kintamųjų ir matematinių operacijų. Tai buvo žingsnis į priekį, bet vis tiek per siaura.
Fourier XIX amžiuje, tyrinėdamas šilumos sklaidą, parodė, kad kai kurias funkcijas galima išreikšti trigonometrinių funkcijų sumomis – net tokias, kurios turi „šuolius” ir neatrodo kaip jokia normali formulė. Tai privertė matematikus permąstyti, kas iš viso gali būti funkcija.
Galutinis, šiuolaikinis apibrėžimas atsirado su aibių teorija: funkcija yra taisyklė, kuri kiekvienam elementui iš vienos aibės priskiria tiksliai vieną elementą iš kitos aibės. Formulės nebereikia. Grafiko nebereikia. Reikia tik aiškaus priskyrimo taisyklės. Tai leidžia kalbėti apie funkcijas tarp bet kokių aibių – skaičių, figūrų, spalvų, žmonių, ko tik nori.
Štai kodėl tai svarbu praktiškai: Kai programuoji, funkcija kompiuterio moksle yra tiesiogiai paveldėta iš šio matematinio apibrėžimo. Funkcija gauna įvestį ir grąžina išvestį – lygiai kaip matematinė funkcija priskiria elementus. Matematikos apibrėžimų evoliucija tiesiogiai paveikė tai, kaip šiandien rašomas programinis kodas.
Limitas ir analizės pagrindai – kai intuityvumas susidūrė su griežtumu
XVII amžiuje Newtonas ir Leibnizas sukūrė diferencialinius ir integralinius skaičiavimus. Tai buvo vienas didžiausių intelektualinių pasiekimų žmonijos istorijoje. Ir jie abu naudojo sąvokas, kurių niekaip negalėjo tiksliai apibrėžti.
Newtonas kalbėjo apie „fluksijas” – begalinai mažus pokyčius. Leibnizas naudojo „infinitezimalus” – skaičius, kurie yra begalinai maži, bet ne nulis. Kas tai per daiktas? Skaičius, mažesnis už bet kokį teigiamą skaičių, bet vis tiek didesnis už nulį? Tai skamba kaip prieštaravimas.
Filosofas Georgas Berklis 1734 metais puolė šias sąvokas su sarkazmu: jis vadino infinitezimalus „mirusiųjų dydžių vaiduokliais”. Ir, tiesą sakant, jis turėjo pagrindo. Matematikai naudojo metodus, kurie veikė ir duodavo teisingus atsakymus, bet negalėjo paaiškinti, kodėl jie veikia.
Prireikė beveik dviejų šimtų metų, kol Augustinas Cauchy ir vėliau Karlas Weierstrass suformulavo griežtą limito apibrėžimą – garsųjį epsilon-delta apibrėžimą. Pagal jį, sakome, kad funkcijos f(x) limitas, kai x artėja prie a, yra L, jeigu kiekvienam ε > 0 egzistuoja δ > 0 toks, kad kai 0 < |x - a| < δ, tai |f(x) - L| < ε.
Tai skamba sudėtingai, ir iš tikrųjų yra sudėtinga. Bet šis apibrėžimas pagaliau leido matematikams kalbėti apie begalinai mažus pokyčius neprieštaraujant sau. Infinitezimalai dingo – liko tik skaičiai ir nelygybės.
Įdomu tai, kad XX amžiuje matematikas Abraomas Robinsonas sukūrė nehiperrealiųjų skaičių teoriją, kuri matematiškai griežtai apibrėžė infinitezimalus. Taigi Leibnizo intuicija buvo teisinga – tik apibrėžimas atėjo tris šimtus metų vėliau.
Geometrija – kai paaiškėjo, kad Euklidas nebuvo vienintelis teisus
Du tūkstančius metų Euklido geometrija buvo laikoma ne tik matematika, bet ir tiesa apie fizinę erdvę. Jo penktasis postulatas – apie lygiagrečias tieses – atrodė šiek tiek sudėtingesnis nei kiti, ir matematikai šimtmečius bandė jį įrodyti iš kitų postulatų. Niekas nepavyko.
XIX amžiuje Lobačevskis ir Bolyai (nepriklausomai vienas nuo kito) padarė drąsų žingsnį: o kas, jei pakeisime tą postulatą? Kas nutiks, jei per tašką, esantį ne ant tiesės, galima nubrėžti ne vieną, o daugiau lygiagrečių tiesių? Atsirado hiperbolinė geometrija – matematiškai nuosekli, be jokių prieštaravimų, bet visiškai skirtinga nuo Euklido.
Tai reiškė, kad „geometrija” nėra viena – jų yra daug. Ir kuri iš jų aprašo tikrąją fizinę erdvę – tai jau ne matematikos, o fizikos klausimas. Einšteinas vėliau parodė, kad gravitacijos paveikta erdvėlaikis yra aprašoma Rimano geometrija – dar viena ne-Euklido geometrija.
Šis atradimas turėjo gilių filosofinių pasekmių. Jei matematika gali turėti kelias skirtingas, bet vienodai galiojančias geometrijas, tai matematika nėra tiesa apie pasaulį – ji yra loginių pasekmių tyrimas iš pasirinktų prielaidų. Tai kardinaliai pakeitė tai, kaip matematikai suprato savo pačių discipliną.
Praktinė rekomendacija mokytojams ir tėvams: Kai vaikas klausia, ar matematika yra „išrasta” ar „atrasta”, tai nėra kvaila klausimas. Tai vienas giliausių matematikos filosofijos klausimų, ir geometrijų istorija rodo, kad atsakymas nėra paprastas. Skatinkite tokius klausimus – jie rodo tikrą matematinį mąstymą.
Tikimybė – nuo lošimo prie griežtos teorijos
Tikimybės teorija gimė iš lošimo. Tai nėra metafora – XVII amžiuje prancūzų aristokratas Ševaljer de Mere kreipėsi į matematikus su konkrečiu klausimu apie kauliukų žaidimo strategiją. Pascal ir Fermat susirašinėdami išvystė pirmąsias tikimybių teorijos idėjas.
Bet kas yra tikimybė? Čia prasideda įdomybės. Iki XX amžiaus nebuvo bendro sutarimo dėl apibrėžimo. Buvo kelios konkuruojančios interpretacijos:
Klasikinė interpretacija (Laplace): tikimybė yra palankių baigčių skaičius, padalintas iš visų galimų baigčių skaičiaus. Tai veikia, kai visos baigtys yra vienodai tikėtinos – kaip su simetriška moneta ar taisyklingu kauliuku. Bet kaip apskaičiuoti tikimybę, kad rytoj lis? Čia šis apibrėžimas neveikia.
Dažnuminė interpretacija: tikimybė yra santykinė dažnuma, kuri nusistovi atliekant labai daug bandymų. Tai intuityviai prasminga, bet matematiškai nepatogi – reikia kalbėti apie begalinį bandymų skaičių.
Subjektyvistinė interpretacija: tikimybė yra racionalaus agento tikėjimo laipsnis. Tai leidžia kalbėti apie unikalius įvykius (kaip rinkimų rezultatai), bet atrodo pernelyg subjektyvu.
1933 metais Andrejus Kolmogorovas padarė tai, ko niekas iki jo nesugebėjo: suformulavo tikimybės teoriją kaip griežtą matematinę sistemą, pagrįstą aibių teorija ir trimis aksiomomis. Pagal šį apibrėžimą, tikimybė yra funkcija, kuri kiekvienam įvykiui priskiria skaičių nuo 0 iki 1, tenkinanti tam tikras savybes. Kas yra tikimybė „iš tikrųjų” – Kolmogorovo teorija to nesprendžia. Ji tik nustato, kaip tikimybės turi elgtis matematiškai.
Tai buvo genialus sprendimas: atskirti matematinę struktūrą nuo filosofinės interpretacijos. Matematikai galėjo dirbti su griežta teorija, o filosofai galėjo toliau ginčytis dėl interpretacijos.
Kai apibrėžimai keičia ne tik matematiką, bet ir pasaulį
Gali pasirodyti, kad visa ši apibrėžimų evoliucija yra grynai akademinis reikalas – matematikai tarpusavyje ginčijasi dėl žodžių, o gyvenimas tęsiasi. Bet tai būtų labai klaidinga išvada.
Kompleksiniai skaičiai, kuriuos matematikai ilgai laikė tik matematine fikcija, šiandien yra elektros inžinerijos pagrindas. Be kompleksinių skaičių negalėtume projektuoti kintamosios srovės grandinių. Kiekvienas elektros prietaisas tavo namuose egzistuoja iš dalies todėl, kad matematikai nusprendė, jog „įsivaizduojamieji” skaičiai yra tokie pat tikri kaip ir visi kiti.
Nehiperrealiųjų skaičių teorija, kuri matematiškai griežtai apibrėžė infinitezimalus, šiandien naudojama kai kuriuose ekonomikos modeliuose ir fizikos teorijose. Cantoro begalybių teorija yra kompiuterių mokslo teorinių pagrindų dalis – Turingo mašinos teorija tiesiogiai remiasi Cantoro idėjomis.
Tikimybės teorijos aksiomatizacija leido sukurti statistiką kaip griežtą mokslą, o tai reiškia, kad šiandieninis medicininis tyrimas, kuris nusprendžia, ar vaistas veikia, remiasi Kolmogorovo 1933 metų darbu. Kiekvieną kartą, kai gydytojas sako, kad vaistas yra „statistiškai reikšmingai veiksmingas”, jis naudoja sąvokas, kurios kilo iš tikimybės apibrėžimo evoliucijos.
Matematika kaip gyvas organizmas – ir kodėl tai turėtų mus džiuginti
Vienas dažniausių mitų apie matematiką yra tas, kad ji yra statiškas, užbaigtas dalykas – tiesos rinkinys, kurį reikia tik išmokti. Bet matematikos sąvokų apibrėžimų istorija rodo visiškai ką kita.
Matematika yra gyvas, besivystantis intelektualinis projektas. Sąvokos, kurios šiandien atrodo akivaizdžios, buvo ginčijamos šimtmečius. Apibrėžimai, kurie dabar yra standartiniai vadovėliuose, atsirado po ilgų debatų, klaidų ir kartais asmeninių dramų. Cantoras kentėjo dėl savo idėjų. Lobačevskis buvo ignoruojamas. Hipassas, pagal legendą, buvo nuskandinta.
Bet kiekvienas toks konfliktas matematikoje baigėsi tuo pačiu: geresnio apibrėžimo atsiradimu. Kiekviena krizė – iracionalių skaičių atradimas, ne-Euklido geometrijos, Cantoro begalybės, analizės pagrindų problema – privertė matematikus mąstyti giliau ir tiksliau. Ir kiekvieną kartą matematika iš to išeidavo stipresnė.
Šiandien matematika susiduria su naujomis sąvokinėmis problemomis. Kategorijų teorija siūlo visiškai naują būdą mąstyti apie matematines struktūras – kai kurie matematikai mano, kad ji galiausiai pakeis aibių teoriją kaip matematikos pagrindą. Homotopijos tipo teorija siūlo naują matematikos pagrindimą, kuriame „lygybė” yra sudėtingesnė sąvoka nei įprastai. Kompiuteriniai įrodymai kelia klausimą: ar įrodymas, kurį gali patikrinti tik kompiuteris, yra tikras matematinis įrodymas?
Šie klausimai nėra išspręsti. Ir tai yra puiku. Tai reiškia, kad matematika tebėra gyva. Apibrėžimų evoliucija nesibaigė – ji tęsiasi šiandien, universitetų seminarijose ir mokslinių straipsnių puslapiuose. Ir kas žino – galbūt po šimto metų kai kurios sąvokos, kurias šiandien laikome akivaizdžiomis, bus apibrėžtos visiškai kitaip. Ir tai bus ne matematikos silpnybė, o jos stiprybė.
